Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных). Моделирование динамических систем (метод Лагранжа и Bond graph approach)

Найти полином означает определить значения его коэффициента . Для этого используя условие интерполяции можно сформировать систему линœейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Определитель этой СЛАУ принято называть определителœем Вандермонда. Определитель Вандермонда не равен нулю при для , то есть в том случае, когда в интерполяционной таблице нет совпадающих узлов. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, можно утверждать, что СЛАУ имеет решение и это решение единственно. Решив СЛАУ и определив неизвестные коэффициенты можно построить интерполяционный полином .

Полином, удовлетворяющий условиям интерполяции, при интерполяции методом Лагранжа строится в виде линœейной комбинации многочленов n-ой степени:

Многочлены принято называть базисными многочленами. Для того, чтобы многочлен Лагранжа удовлетворял условиям интерполяции крайне важно, чтобы для его базисных многочленов выполнялись следующие условия:

для .

В случае если эти условия выполняются, то для любого имеем:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, выполнение заданных условий для базисных многочленов означает, что выполняются и условия интерполяции.

Определим вид базисных многочленов исходя из наложенных на них ограничений.

1-е условие: при .

2-е условие: .

Окончательно для базисного многочлена можно записать:

Тогда, подставляя полученное выражение для базисных многочленов в исходный полином, получаем окончательный вид многочлена Лагранжа:

Частная форма многочлена Лагранжа при принято называть формулой линœейной интерполяции:

Многочлен Лагранжа взятый при принято называть формулой квадратичной интерполяции:

Метод Лагранжа. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Метод Лагранжа." 2017, 2018.

• - Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).

  Линейные ДУ. Определение. ДУ вида т.е. линейное относ-но неизвестной ф-ции и ее производной наз-ся линейным. Для реш-я такого типа ур-й рассмотрим два метода: метод Лагранжа и метод Бернулли.Рассмотрим однородное ДУ Это ур-е с разделяющимися переем-ми Решение ур-я Общее... .

• - Линейные ДУ, однород-е и неоднород-е. Понятие общего реш-я. Метод Лагранжа вариации произв-х постоянных.

  Определение. ДУ наз-ся однород-м, если ф-я может быть представлена, как ф-я отнош-я своих аргументов Пример. Ф-я наз-ся однородной ф-й измерения если Примеры: 1) - 1-й порядок однородности. 2) - 2-й порядок однородности. 3) - нулевой порядок однородности (просто однородная... .

• - Лекция 8. Применение частных производных: задачи на экстремум. Метод Лагранжа.

  Задачи на экстремум имеют большое значение в экономических расчетах. Это вычисление, например, максимумов дохода, прибыли, минимума издержек в зависимости от нескольких переменных: ресурсов, производственных фондов и т.д. Теория нахождения экстремумов функций... .

• - Т.2.3. ДУ высших порядков. Уравнение в полных дифференциалах. Т.2.4. Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа.

  3. 2. 1. ДУ с разделяющимися переменными С.Р. 3. В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с эмпирическими формулами, т.е. формулами, составленными на основе обработки статистических данных или...

Метод Лагранжа ─ это метод решения задачи условной оптимизации, при котором ограничения, записываемые как неявные функции, объединяются с целевой функцией в форме нового уравнения, называемого лагранжианом .

Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования:

Дана система нелинейных уравнений (1):

(1) gi(x1,x2,...,xn)=bi (i=1..m),

Найти наименьшее (или наибольшее) значение функции (2)

(2) f (х1,х2,...,хn),

если отсутствуют условия неотрицательности переменных и f(х1,х2,...,хn) и gi(x1,x2,...,xn) ─ функции, непрерывные вместе со своими частными производными.

Чтобы найти решение этой задачи, можно применить следующий метод: 1. Вводят набор переменных λ1, λ2,..., λm, называемых множителями Лагранжа, составляют функцию Лагранжа (3)

(3) F(х1,х2,...,хn , λ1,λ2,...,λm) = f(х1,х2,...,хn)+ λi .

2. Находят частные производные от функции Лагранжа по переменным xi и λi и приравнивают их нулю.

3. Решая систему уравнений, находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.

4.Среди точек, подозрительных не экстремум, находят такие, в которыхдостигается экстремум, и вычисляют значения функции в этих точках.

4. Сравнить полученные значения функции f и выбрать наилучшее.

По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве х1 изделия I способом затраты равны 4*х1+х1^2 руб., а при изготовлении х2 изделий II способом они составляют 8*х2+х2^2 руб. Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, так чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными.

Решение: Математическая постановка задачи состоит в определении наименьшего значения функции двух переменных:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, при условии x1 +x2 = 180.

Составим функцию Лагранжа:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Вычислим ее частные производные по х1,х2, λ и приравняем их к 0:

Перенесем в правые части первых двух уравнений λ и приравняем их левые части, получим 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, или x1 − x2 = 2.

Решая последнее уравнение совместно с уравнением x1 + x2 = 180, находим x1 = 91, x2 = 89, то есть получили решение, удовлетворяющее условиям:

Найдем значение целевой функции f при этих значениях переменных:

F(x1, x2) = 17278

Эта точка является подозрительной на экстремум. Используя вторые частные производные, можно показать, что в точке (91,89) функция f имеет минимум.

Точка М называется внутренней для некоторого множества G, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Точка N называется граничной для множества G, если в любой ее полной окрестности имеются точки, как принадлежащие G, так и не принадлежащие ему.

Совокупность всех граничных точек множества G называется границей Г.

Множество G будет называться областью, если все его точки - внутренние (открытое множество). Множество G с присоединенной границей Г называется замкнутой областью. Область называется ограниченной, если она целиком содержится внутри круга достаточно большого радиуса.

Наименьшее и наибольшее значения функции в данной области называются абсолютными экстремумами функции в этой области.

Теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наименьшего и своего наибольшего значений.

Следствие. Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо на Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой областиG необходимо найти все ее критические точки в этой области, вычислить значения функции в этих точках (включая граничные) и путем сравнения полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее из них.

Пример 4.1. Найти абсолютный экстремум функции (наибольшее и наименьшее значения)
в треугольной областиD с вершинами
,
,
(рис.1).

;
,

то есть точка О(0, 0) - критическая точка, принадлежащая области D. z(0,0)=0.

а) ОА: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

б) ОВ: х=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

в) АВ: ;
,

Пример 4.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной осями координат и прямой
.

1) Найдем критические точки, лежащие в области:

,
,

.

, z(0, 2)=-3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=-10/3.

Среди всех найденных значений выбираем z наиб =z(4, 0)=13; z наим =z(1, 2)=-4.

5. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию.

Пусть рассматривается функция
, аргументыикоторой удовлетворяют условию
, называемому уравнением связи.

Точка
называется точкой условного максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек
из этой окрестности удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство
или
.

На рис.2 изображена точка условного максимума
. Очевидно, что она не является точкой безусловного экстремума функции
(на рис.2 это точка
).

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Допустим уравнение связи
удалось разрешить относительно одной из переменных, например, выразитьчерез:
. Подставив полученное выражение в функцию двух переменных, получим

т.е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет условным экстремумом функции
.

Пример 5.1. Найти точки максимума и минимума функции
при условии
.

Решение. Выразим из уравнения
переменнуючерез переменнуюи подставим полученное выражение
в функцию. Получим
или
. Эта функция имеет единственный минимум при
. Соответствующее значение функции
. Таким образом,
- точка условного экстремума (минимума).

В рассмотренном примере уравнение связи
оказалось линейным, поэтому его легко удалось разрешить относительно одной из переменных. Однако в более сложных случаях сделать это не удается.

Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа. Рассмотрим функцию трех переменных . Эта функция называется функцией Лагранжа, а- множитель Лагранжа. Верна следующая теорема.

Теорема. Если точка
является точкой условного экстремума функции
при условии
, то существует значениетакое, что точка
является точкой экстремума функции
.

Таким образом, для нахождения условного экстремума функции
при условии
требуется найти решение системы

Последнее из этих уравнений совпадает с уравнением связи. Первые два уравнения системы можно переписать в виде, т.е. в точке условного экстремума градиенты функций
и
коллинеарны. На рис. 3 показан геометрический смысл условий Лагранжа. Линия
пунктирная, линия уровня
функции
сплошные. Из рис. следует, что в точке условного экстремума линия уровня функции
касается линии
.

Пример 5.2 . Найти точки экстремума функции
при условии
, используя метод множителей Лагранжа.

Решение. Составляем функцию Лагранжа . Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений:

Ее единственное решение . Таким образом, точкой условного экстремума может быть только точка (3; 1). Нетрудно убедиться в том, что в этой точке функция
имеет условный минимум. В случае, если число переменных более двух, моет рассматриваться и несколько уравнений связи. Соответственно в этом случае будет и несколько множителей Лагранжа.

Задача нахождения условного экстремума используется при решении таких экономических задач, как нахождение оптимального распределения ресурсов, выбор оптимального портфеля ценных бумаг и др.

Материал из архива Bezdepik. Народные поверья, толкования и астрологические прогнозы приводятся как часть культуры и не являются научно доказанными. По вопросам здоровья, права и финансов обращайтесь к специалистам.