Калькулятор неявной функции. Производные высших порядков неявно заданной функции

Или короче - производная неявной функции. Что такое неявная функция? Поскольку мои уроки носят практическую направленность, я стараюсь избегать определений, формулировок теорем, но здесь это будет уместно сделать. А что такое вообще функция?

Функция одной переменной - это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции .

Переменная называется независимой переменной или аргументом .
Переменная называется зависимой переменной или функцией .

Грубо говоря, буковка "игрек" в данном случае - и есть функция.

До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.

Рассмотрим функцию

Мы видим, что слева у нас одинокий "игрек" (функция), а справа - только "иксы" . То есть, функция в явном виде выражена через независимую переменную .

Рассмотрим другую функцию:

Здесь переменные и расположены "вперемешку". Причем никакими способами невозможно выразить "игрек" только через "икс". Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить "игрек" в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.

Разрешите познакомить: - пример неявной функции .

В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у "нормальной" функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс-меньшинств соблюдены.

И на этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.

Да, и сообщу хорошую новость - рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму без камня перед тремя дорожками.

Пример 1

1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:

2) Используем правила линейности производной (первые два правила урока Как найти производную? Примеры решений ):

3) Непосредственное дифференцирование.
Как дифференцировать и совершенно понятно. Что делать там, где под штрихами есть "игреки"?

Просто до безобразия, производная от функции равна её производной : .

Как дифференцировать

Здесь у нас сложная функция . Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква "игрек". Но, дело в том, что всего одна буква "игрек" - САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (см. определение в начале урока). Таким образом, синус - внешняя функция, - внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции :

Произведение дифференцируем по обычному правилу :

Обратите внимание, что - тоже сложная функция, любой "игрек с наворотами" - сложная функция :

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:

Если есть скобки, то раскрываем их:

4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть "игрек" со штрихом. В правую часть - переносим всё остальное:

5) В левой части выносим производную за скобки:

6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:

Производная найдена. Готово.

Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию можно переписать так: . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы "функция, заданная в неявном виде" и "неявная функция" отличаются одним смысловым нюансом. Фраза "функция, заданная в неявном виде" более общая и корректная, - эта функция задана в неявном виде, но здесь можно выразить "игрек" и представить функцию в явном виде. Под фразой "неявная функция" понимают "классическую" неявную функцию, когда "игрек" выразить нельзя.

Второй способ решения

Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные. Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт, иначе в голове будет полная каша.

Найдем производную неявной функции вторым способом.

Переносим все слагаемые в левую часть:

И рассматриваем функцию двух переменных:

Тогда нашу производную можно найти по формуле

Найдем частные производные:

Таким образом:

Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему "Производная функции одной переменной", знать частные производные как бы еще не должен.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2

Найти производную от функции, заданной неявно

Навешиваем штрихи на обе части:

Используем правила линейности:

Находим производные:

Раскрываем все скобки:

Переносим все слагаемые с в левую часть, остальные - в правую часть:

В левой части выносим за скобку:

Окончательный ответ:

Пример 3

Найти производную от функции, заданнойнеявно

Полное решение и образец оформления в конце урока.

Не редкость, когда после дифференцирования возникают дроби. В таких случаях от дробей нужно избавляться. Рассмотрим еще два примера.

Очень часто при решении практических задач (например, в высшей геодезии или аналитической фотограмметрии) появляются сложные функции нескольких переменных, т. е. аргументы x, y, z одной функцииf (x,y,z) ) сами являются функциями от новых переменныхU, V, W ).

Так, например, бывает при переходе от неподвижной системы координат Oxyz в подвижную системуO 0 UVW и обратно. При этом важно знать все частные производные по "неподвижным" - "старым" и "подвижным" - "новым" переменным, так как эти частные производные обычно характеризуют положение объекта в этих системах координат, и, в частности, влияют на соответствие аэрофотоснимков реальному объекту. В таких случаях применяются следующие формулы:

То есть задана сложная функцияT трех "новых" переменныхU, V, W посредством трёх "старых" переменныхx, y, z, тогда:

Замечание. Возможны вариации в количестве переменных. Например: если

В частности, еслиz = f(xy), y = y(x) , то получаем так называемую формулу "полной производной":

Эта же формула "полной производной" в случае:

примет вид:

Возможны и иные вариации формул (1.27) - (1.32).

Замечание: формула "полной производной" используется в курсе физики, раздел "Гидродинамика" при выводе основополагающей системы уравнений движения жидкости.

Пример 1.10. Дано:

Согласно (1.31):

§7 Частные производные неявно заданной функции нескольких переменных

Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительноy :

Пример 1.11.

Уравнение

неявно задаёт две функции:

А уравнение

не задаёт никакой функции.

Теорема 1.2 (существования неявной функции).

Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производныеf" x иf" y определены и непрерывны в некоторой окрестностиU M0 точкиM 0 (x 0 y 0 ) . Кроме того,f(x 0 ,y 0 )=0 иf"(x 0 ,y 0 )≠0 , тогда уравнение (1.33) определяет в окрестностиU M0 неявную функциюy= y(x) , непрерывную и дифференцируемую в некотором интервалеD с центром в точке x 0 , причемy(x 0 )=y 0 .

Без доказательства.

Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D :

то- есть имеет место тождество по

где "полная" производная находится согласно (1.31)

То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x .

Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.

Например, если в некоторой области V пространстваOxyz выполняется уравнение:

то при некоторых условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию

При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так.

Пусть функция задана неявно в виде уравнения
. Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно производной , найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную получим вторую производную от неявной функции. Подставляя уже найденное значение в выражение второй производной, выразим через х и у. Аналогично поступаем для нахождения производной третьего порядка (и дальше).

Пример.Найти , если
.

Решение: дифференцируем уравнение по х :
. Отсюда находим
. Далее .

Производные высших порядков от функций заданных параметрически.

Пусть функция
задана параметрическими уравнениями
.

Как известно первая производная находится по формуле
. Найдем вторую производную
, т.е.
. Аналогично
.

Пример. Найти вторую производную
.

Решение: находим первую производную
. Находим вторую производную
.

Дифференциал функции.

Пусть функция
дифференцируема на
. Производная этой функции в некоторой точке
определяется равенством
. Отношение
при
, следовательно отличается от производной
на величину б.м., т.е. можно записать
(
). Умножим все на
, получим
. Приращение функции
состоит из двух слагаемых. первое слагаемое
- главная часть приращения, есть дифференциал функции.

Опр. Дифференциалом функции
называется произведение производной на приращение аргумента. Обозначается
.

Дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением
.

(). Таким образом, формулу для дифференциала можно записать
. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал независимой переменной. Из этого соотношения следует, что производную можно рассматривать как отношение дифференциалов
.

Дифференциал используют в приближенных вычислениях. Так как в выражении
второе слагаемое
бесконечно малая величина пользуются приближенным равенством
или в развернутом виде

Пример: вычислить приближенное значение
.

Функция
имеет производную
.

По формуле (*) : .

Пример: найти дифференциал функции

Геометрический смысл дифференциала.

К графику функции
в точке М(x ;y ) проведем касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки x +∆ x . На рисунке АМ=∆х АМ 1 =∆у из ∆МАВ
, отсюда
, но согласно геометрическому смыслу касательной
. Поэтому
. Сравнивая эту формулу с формулой дифференциала получаем, что
, т.е. дифференциал функции
в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получает приращение ∆х .

Правила вычисления дифференциала.

Поскольку дифференциал функции
отличается от производной множителем
, то все правила вычисления производной используются и для вычисления дифференциала (отсюда и термин "дифференцирование").

Пусть даны две дифференцируемые функции
и
, тогда дифференциал находится по следующим правилам:

1)

2)
с - const

3)

4)
(
)

5) для сложной функции
, где

(т.к.
).

Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Приложения производной.

Теоремы о среднем значении.

Теорема Ролля . Если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема в открытом промежутке
и если принимает на концах отрезка равные значения
, то в интервале
найдется, хотя бы одна такая точка с , в которой производная обращается в ноль, т.е.
, a < c < b .

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции
найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох .

Теорема Лагранжа . Если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
, то найдется, хотя бы одна точка
такая, что выполняется равенство .

Формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке
равно приращению аргумента, умноженному на значение производной в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: на графике функции
найдется точка С(с; f (c )) , в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ .

Теорема Коши . Если функции
и
непрерывны на отрезке
, дифференцируемы на интервале
, причем
для
, то найдется хотя бы одна точка
такая, что выполняется равенство
.

Теорема Коши служит основанием для нового правила вычисления пределов.

Правило Лопиталя.

Теорема: (Правило Лопиталя раскрытие неопределенностей вида ). Пусть функции
и
непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х 0 и обращаются в нуль в этой точки
. И пусть
в окрестности точки х 0 . если существует предел
, то
.

Доказательство: применим к функциям
и
теорему Коши для отрезка

Лежащего в окрестности точки х 0 . Тогда
, где x 0 < c < x . Так как
получаем
. Перейдем к пределу при
. Т.к.
, то
, поэтому
.

Итак предел отношения двух б.м. равен пределу отношения их производных, если последний существует
.

Теорема. (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
) Пусть функции
и
непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х 0 (кроме, может быть, точки х 0 ), в этой окрестности
,
. Если существует предел

, то
.

Неопределенности вида (
) сводятся к двум основным (),
путем тождественных преобразований.

Пример:

Рассмотрим функцию y(x), которая записывается неявным способом в общем виде $ F(x,y(x)) = 0 $. Производная неявной функции находится двумя способами:

1. Дифференцированием обеих частей уравнения
2. С помощью использования готовой формулы $ y" = - \frac{F"_x}{F"_y} $

Как найти?

Способ 1

Не требуется приводить функцию к явному виду. Нужно сразу приступать к дифференцированию левой и правой части уравнения по $ x $. Стоит обратить внимание, что производная $ y" $ вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции. Например, $ (y^2)"_x = 2yy" $. После нахождения производной необходимо выразить $ y" $ из полученного уравнения и разместить $ y" $ в левой части.

Способ 2

Можно воспользоваться формулой, в которой используются в числителе и знаменателе частные производные неявной функции $ F(x,y(x)) = 0 $. Для нахождения числителя берем производную по $ x $, а для знаменателя производную по $ y $.

Вторую производную неявной функции можно найти с помощью повторного дифференцирования первой производной неявной функции.

Примеры решений

Рассмотрим практические примеры решений на вычисление производной неявно заданной функции.

Материал из архива Bezdepik. Народные поверья, толкования и астрологические прогнозы приводятся как часть культуры и не являются научно доказанными. По вопросам здоровья, права и финансов обращайтесь к специалистам.