Экстраполяция тренда и доверительные интервалы прогноза. Интервалы прогноза по уравнению регрессии

Расчеты и проверка достоверности полученных оценок коэффициентов регрессии не являются самоцелью, это лишь необходимый промежуточный этап. Основное - это использование модели для анализа и прогноза поведения изучаемого экономического явления. Прогноз осуществляется подстановкой значения фактора х в полученную формулу регрессии.

Используем полученное в примере 2.1 уравнение регрессии для прогноза объема товарооборота. Пусть намечается открытие магазина с численностью работников х =140 чел., тогда достаточно обоснованный объем товарооборота следует установить по уравнению ŷ (х )= -0,974 + 0,01924×140=1,72 млрд. руб.

Доверительный интервал для прогностического значения у (х )= a 0 +a 1 х определяется по формуле

где t p - критическая граница распределения Стьюдента с n - 2 степенями свободы, соответствующая уровню значимости р . Для получения доверительного интервала воспользуемся выражением (5.2).

Выберем уровень значимости 5%. Число степеней свободы у нас 8 - 2 = 6, тогда по таблице распределения Стьюдента (приложение 1) находим

t 0.05 (6)=2,447.s=Ö 0,008=0,089,

следовательно, с вероятностью 95% истинные значения объемов товарооборота будут лежать в пределах

1,72 - 2,447×0,048y (x )y (x )

5.8. Практический блок

Пример. Построить модель связи между указанными факторами, проверить её адекватность, осуществить точечный и интервальный прогноз методом экстраполяции.

1 . Построить диаграмму рассеяния в EXCELи сделать предварительное заключение о наличии связи.

Таблица 5.6Диаграмма 5.1

Вывод: Из диаграммы 5.1 видно, что связь между факторами x и y

прямая сильная линейная связь .

2. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами х и у .

Таблица 5.7

2.1.Проверим тесноту связи между факторами:

;

Вывод: связь сильная.

2.2.Проверим статистическую значимость по критерию Стьюдента:

1)Критерий Стьюдента: tвыб

2)Н о: r=0 tкр=2,31

tвыб=rвыб*

Вывод: таким образом поскольку tвыб=5,84

90% нулевая гипотеза отвергается, это указывает на наличие сильной линейной связи.

3. Полагая, что связь между факторами х и у может быть описана линейной функцией, используя процедуру метода наименьших квадратов, запишите систему нормальных уравнений относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии. Любым способом рассчитайте эти коэффициенты.

Последовательно подставляя в уравнение регрессии из графы (2) табл.5.7, рассчитаем значения и заполним графу (7) табл.5.7.

4. Для полученной модели связи между факторами Х и У рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте предварительное заключение приемлемости полученной модели.

Для расчета заполним 8-ую и 9-ую графу табл.5.7.

Вывод: модель следует признать удовлетворительной.

5 . Проверьте значимость коэффициента уравнения регрессии a 1 на основе t-критерия Стьюдента.

Решение: Таблица 5.8

Статистическая проверка:

Вывод: С доверительной вероятностью 90% коэффициент a 1 - статистически значим, т.е. нулевая гипотеза отвергается.

6. Проверьте адекватность модели (уравнения регрессии) в целом на основе F-критерия Фишера-Снедекора.

Процедура статистической проверки:

:модель не адекватна

Вывод: т.к. Fвыб.>Fкр., то с доверительной вероятностью 95% нулевая гипотеза отвергается (т.е. принимается альтернативная). Изучаемая модель адекватна и может быть использована для прогнозирования и принятия управленческих решений.

7. Рассчитайте эмпирический коэффициент детерминации.

(таб. 3)

Показывает долю вариации.

Вывод: т.е. 80% вариации объясняется фактором, включенным в модель, а 20% не включенными в модель факторами.

8. Рассчитайте корреляционное отношение. Сравните полученное значение с величиной линейного коэффициента корреляции.

Эмпирическое корреляционное отношение указывает на тесноту связи между двумя факторами для любой связи, если связь линейная, то , т.е. коэффициент корреляции совпадает с коэффициентом детерминации.

9 . Выполните точечный прогноз для .

10-12 . Рассчитайте доверительные интервалы для уравнения регрессии и для результирующего признака при доверительной вероятности =90%. Изобразите в одной системе координат:

а) исходные данные,

б) линию регрессии,

в) точечный прогноз,

г) 90% доверительные интервалы.

Сформулируйте общий вывод относительно полученной модели.

-математическое ожидание среднего.

Для выполнения интервального прогноза рассматриваем две области.

1) для y из области изменения фактора x доверительные границы для линейного уравнения регрессии рассчитывается по формуле:

2) для прогнозного значения доверительный интервал для рассчитывается по формуле:

Исходные данные:

2) t=2,31(таб.)

5) : 27,91 42,56 57,02 66,72

6) 19,334-4,22 2)=1,53.

Таблица 5.9

Вывод: поскольку 90% точек наблюдения попало в 90% доверительный интервал, данная модель и ее доверительные границы могут использоваться для прогнозирования с 90% доверительной вероятностью.

Контрольные вопросы

1. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.

2. Виды автокорреляции и их краткая характеристика.

3. Автокорреляция в остатках и порядок её обнаружения.

4. Виды автокорреляции в остатках.

5. Порядок использования критерия Дарбина-Уотсона.

6. Автокорреляция в исходных данных и порядок определения её наличия.

7. Методы устранения влияния автокорреляции на результаты прогнозирования.

8. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).

9. Что понимается под гомоскедастичностью?

10. Как проверяется гипотеза о гомоскедастичности ряда остатков?

11. Оценка качества регрессии. Проверка адекватности и достоверности модели.

12. Значимость коэффициентов регрессии (критерий Стъюдента).

13. Дисперсионный анализ. Проверка достоверности модели связи (по F-критерию Фишера).

14. Коэффициенты и индексы корреляции. Мультиколлениарность.

15. Оценка значимости корреляции. Детерминация.

16. Средняя ошибка аппроксимации.

17. Принятие решений на основе уравнений регрессии.

18. В каких задачах эконометрики используется распределение Фишера?

19. Таблицы каких распределений используются при оценке качества линейной регрессии?

20. Каковы особенности практического применения регрессионных моделей?

21. Как осуществляется прогнозирование экономических показателей с использованием моделей линейной регрессии?

22. Как можно оценить "естественный" уровень безработицы с использованием модели линейной регрессии?

23. В каких случаях необходимо уточнение линейной регрессионной модели и как оно осуществляется?

24. Когда необходимо выведение из рассмотрения незначимых объясняющих переменных и добавление новых переменных?

Задания и задачи

1 . Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 2006г.

Рассчитайте матрицы парных коэффициентов корреляции и на их основе отберите информативные факторы в модель. Постройте модель только с информативными факторами и оцените ее параметры.

Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для
уровня значимости 5 или 10% (γ = 0,05; γ = 0,10).

2. Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 2006г.

Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов.

Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью коэффициентов эластичности.

Рассчитайте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и на их основе отберите информативные факторы в модель. Постройте модель только с информативными факторами и оцените ее параметры.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10% (α = 0,05; α = 0,10).

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16

Получение оценок коэффициентов регрессии и проверка их достоверности не являются самоцелью, это лишь необходимый промежуточный этап. Основное - это использовать модель для анализа и прогноза значений изучаемого экономического явления. Прогноз осуществляется подстановкой значения фактора х в полученную формулу регрессии.

Используем полученное в примере 1.1 (прил.4) уравнение регрессии для прогноза объема товарооборота. Если намечается открыть магазин с численностью работников х =140 чел., то обоснованный объем товарооборота устанавливается по уравнению ŷ (х )= -0,974 + 0,01924×140=1,72 млрд. рублей.

Доверительный интервал для прогноза значения у (х )=a 0 +a 1 х определяется по формуле

где t p - критическая граница распределения Стьюдента с n - 2 степенями свободы, соответствующая уровню значимости р . Для получения доверительного интервала воспользуемся выражением (2.2).

Выберем уровень значимости 5%. Количество степеней свободы у нас 8 - 2 = 6, тогда по таблице распределения Стьюдента (приложение 1) находим

t 0.05 (6)=2,447.s= =0,089,

следовательно, с вероятностью 95% истинные значения объемов товарооборота будут лежать в пределах

1,72 - 2,447×0,048y (x )y (x )

2.8. Практический блок

Пример. Построить уравнение регрессии между заданными переменными, проверить её адекватность, сделать прогноз методом экстраполяции.

1 . Построить диаграмму рассеяния в EXCELи сделать заключение о наличии корреляции.

Таблица 2.6Диаграмма 2.1

Из диаграммы 2.1 видно, что между переменнымиx и y имеется сильная линейная связь .

Таблица2.7

2.1.Теснота связи между переменными:

;

Вывод: сильная связь.

2.2.Проверим по критерию Стьюдента статистическую значимость:

По критерию Стьюдента: t выб

Гипотеза Н о: r=0,t кр =2,31,

t выб =r выб *

Так какt выб =5,84сильную линейную связь.

3. Записать систему нормальных уравнений для коэффициентов линейной регрессии. Используя метод наименьших квадратов, рассчитайте эти коэффициенты.

Подставляя в найденное уравнение регрессии значения (графа (3) табл.2.7), рассчитаем значения (графа (7) табл.2.7).

4. Для полученного уравнения регрессии между Х и У рассчитать среднюю ошибку аппроксимации. Сделать заключение об адекватности полученной модели.

Заполним 8-ю и 9-ю графу табл.2.7.

Модель признается удовлетворительной.

5 . Проверить значимость коэффициента a 1 уравнения регрессии, используя критерий Стьюдента.

Решение: Таблица 2.8

Статистическая проверка:

Выводы: С доверительной вероятностью 0.9 коэффициент a 1 является статистически значимым, таким образом, гипотеза отвергается.

6. Проверить адекватность уравнения регрессии в целом, применив F-критерий Фишера-Снедекора.

Статистическая проверка:

:модель не адекватна

Так какF выб >F кр, то отвергается гипотеза (принимается альтернативная)с доверительной вероятностью 0.95. Данная модель адекватна и может использоваться для прогнозирования при принятии управленческих решений.

(таб. 2.8).

Доля вариации.

Таким образом, 80% вариации объясняемой переменной объясняется включенным в модель фактором, а 20% факторами, не включенными в модель.

Тесноту связи между переменными для произвольной связи показывает эмпирическое корреляционное отношение, при линейной связи , и коэффициент корреляции равен коэффициенту детерминации.

9 . Выполнить точечный прогноз для .

Исходные данные,

Точечный прогноз,

Линию регрессии,

90% доверительные интервалы.

Сформулировать общие выводы относительно полученной регрессионной модели.

-математическое ожидание среднего.

Чтобы выполнить интервальный прогноз рассмотрим две области.

а) доверительные границы уравнения регрессии дляy из области значений переменнойx рассчитаем по формуле:

б) для прогнозных значений доверительный интервал для рассчитаем по формуле:

Имеем:n=10, t=2,31(таб. Приложение 1),

19,334-4,22 2)=1,53.

: 27,9; 42,6; 57,0; 66,7

Таблица 2.9

Т.к. 90% точек наблюдения находится в 90% - доверительном интервале, данная модель с ее доверительными границами может использоваться для прогнозирования с доверительной вероятностью 0,9.

Контрольные вопросы

1. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.

2. Виды автокорреляции и их краткая характеристика.

3. Автокорреляция в остатках и порядок её обнаружения.

4. Виды автокорреляции в остатках.

5. Порядок использования критерия Дарбина-Уотсона.

6. Автокорреляция в исходных данных и порядок определения её наличия.

7. Методы устранения влияния автокорреляции на результаты прогнозирования.

8. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).

9. Что понимается под гомоскедастичностью?

10. Как проверяется гипотеза о гомоскедастичности ряда остатков?

11. Оценка качества регрессии. Проверка адекватности и достоверности модели.

12. Значимость коэффициентов регрессии (критерий Стъюдента).

13. Дисперсионный анализ. Проверка достоверности модели связи (по F-критерию Фишера).

14. Коэффициенты и индексы корреляции. Мультиколлениарность.

15. Оценка значимости корреляции. Детерминация.

16. Средняя ошибка аппроксимации.

17. Принятие решений на основе уравнений регрессии.

18. В каких задачах эконометрики используется распределение Фишера?

19. Таблицы каких распределений используются при оценке качества линейной регрессии?

20. Каковы особенности практического применения регрессионных моделей?

21. Как осуществляется прогнозирование экономических показателей с использованием моделей линейной регрессии?

22. Как можно оценить "естественный" уровень безработицы с использованием модели линейной регрессии?

23. В каких случаях необходимо уточнение линейной регрессионной модели и как оно осуществляется?

24. Когда необходимо выведение из рассмотрения незначимых объясняющих переменных и добавление новых переменных?

Задания и задачи

1 . Имеются данные о показателях деятельности компаний США в 2006г.

2. Имеются данные о показателях деятельности компаний США в 2009г.

Вопрос 4. Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделœей

Заключительным этапом применения кривых роста яв­ляется экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t , соответ­ствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени опреде­ляется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желатель­но определить границы возможного изменения прогнозируемого по­казателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого пока­зателя, ᴛ.ᴇ. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста͵ может быть вызвано:

1) субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2) погрешностью оценивания параметров кривых;

3) погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблю­дений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, мо­жет быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. До­верительный интервал, учитывающий неопределœенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, опре­деляется в виде:

, (5.26)

где п - длина временного ряда;

L - период упреждения; - точечный прогноз на момент n+L ;

t a - значение t -статистики Стьюдента;

S p - средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содер­жат погрешность. Погрешность параметра а 0 приводит к вертикально­му сдвигу прямой, погрешность параметра а 1 изменению угла на­клона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса кон­кретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию S 2 p можно представить в виде:

, (5.27)

где: S y 2 -дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

t l - время упреждения, для которого делается экстраполяция, t l = n + L ;

t - порядковый номер уровней ряда, t =1, 2,..., п ;

Порядковый номер уровня, стоящего в серединœе ряда, ;

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

. (5.28)

Обозначим корень в выражении (5.28) через К . Значение К за­висит только от п и L , ᴛ.ᴇ. от длины ряда и периода упреждения. По этой причине можно составить таблицы значений К или К*= t a K . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

. (5.29)

Выражение, аналогичное (5.28), можно получить для полинома второго порядка:

(5.30)

. (5.31)

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:

, (5.32)

где: y t - фактические значения уровней ряда,

Расчетные значения уровней ряда,

п - длина временного ряда,

k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома. Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интер­вал при одном и том же значении S y , так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствую­щих параметров уравнения.

Рис. 5.4. Доверительные интервалы прогноза для линœейного тренда

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использо­ванием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. От­личие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме бывают определœены доверительные ин­тервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значе­ние асимптоты известно (к примеру, для модифицированной экспонен­ты).

В таблице 5.4 приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда п и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (п ) значения К* умень­шаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений п : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L .

Таблица 5.4

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линœейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7)

Одна из базовых задач, возникающих при прогнозировании, состоит в определœении доверительных интервалов прогноза. Интуитивно понятно, что в базе расчета доверительности интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда. Чем выше эта колеблемость, тем шире интервал для прогноза. Следовательно, вопрос о доверительном интервале прогноза следует начать с рассмотрения измерителя колеблемости. Обычно таким измерителœем является среднее квадратическое отклонение:

где - соответственно фактическое и расчетное значения ряда;

f - число степеней свободы, определяемое исходя из числа наблюдений (n ) и числа оцениваемых параметров.

f = n - z,

где z - число оцениваемых параметров.

К примеру, для параболы второй степени f = n - 3, третьей степени f = n - 4 и т.д.

Сумму квадратов отклонений от тренда можно разложить следующим образом:

Последнее выражение можно упростить. Допустим, что начало отсчета находится в серединœе ряда, тогда , а параметры а и b будут равны:

После преобразований получим:

Разность первых двух членов правой стороны равна сумме квадратов отклонений от средней арифметической, ᴛ.ᴇ. .

Таким образом,

Последнее выражение показывает, что сумма квадратов отклонений от линий тренда меньше, чем от средней арифметической.

Сумма квадратов отклонений от линий тренда, ᴛ.ᴇ. и среднее квадратическое отклонение от тренда Sy является основой при определœении средней квадратической ошибки параметров.

Прежде чем приступить к определœению доверительного интервала прогноза, следовало бы сделать оговорку. Дело в том, что предположение о нормальности распределœения отклонений вокруг линии регрессии не может ни утверждаться и не быть проверено при анализе рядов. Дискуссии еще в 30-40-х годах пролили свет на трудности, связанные с этой проблемой. В итоге, принципиальный новый подход так и не был найден. Все предложения так или иначе связаны с определœением доверительного интервала на базе оценки среднего квадратического отклонения членов ряда.

Полученные в ходе оценивания параметры не свободны от погрешности. Расчетные значения несут на себе груз неопределœенности, связанной с ошибками в значении параметров.

В общем виде доверительный интервал прогноза определяется как

где - средняя квадратическая ошибка;

Расчетное значение у t ;

Значение t -критерия Стьюдента.

В случае если t = I + L , то последнее определит значение доверительного интервала на L единиц времени.

Доверительный интервал прогноза должен учитывать не только неопределœенность, но возможность отклонения, ᴛ.ᴇ. диапазон варьирования. В случае если обозначим среднюю квадратическую ошибку как S p , тогда доверительный интервал прогноза составит:

Доверительные интервалы прогноза - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Доверительные интервалы прогноза" 2017, 2018.

Материал из архива Bezdepik. Народные поверья, толкования и астрологические прогнозы приводятся как часть культуры и не являются научно доказанными. По вопросам здоровья, права и финансов обращайтесь к специалистам.